Itt bepillanthatsz
a Mi MICSODA filmekbe:

Get Flash to see this player.

A π megünneplése

2016. március 16., 13:41
 

Március 14. – amit így is leírhatunk: 3,14 – épp e leírási formája okán lett a nemzetközi π-nap, vagyis a matematika egyik leghíresebb számának, a π (pi) számnak, a 3,14…-nek az ünnepe. Érdekes egybeesés, hogy ez a nap egyúttal az egyik legnagyobb fizikus, Einstein születésnapja is. A π-napot 1988 óta ünnepelik. Az ötletadója egy San Franciscó-i fizikus professzor, Larry Shaw volt, akit azután el is neveztek a π hercegének. Amióta megvalósították az ötletét, munkahelyén, az Exploratorium nevű természettudományi múzeumban ilyenkor körbejárnak az ott dolgozók az épület csarnokában, és az ünnepi alkalomra készített gyümölcsös pitéket esznek. A pite angol neve, a pie is visszavezethető a pi számra, amelynek görög formája ilyenkor a legkülönfélébb módokon kerül fel a sütik tetejére. Az ünnepnapon természetesen vetélkedő is zajlik: ilyenkor állnak elő mindazok, akik egész évben lázasan dolgoztak a szám minél pontosabb kiszámolásán, és előadják, hogy ki hány tizedesjegyig jutott. Jelen pillanatban a japán Haragucsi Akira a csúcstartó, aki 2006-ban 100 000 tizedesjegyet sorolt fel, és ez neki éppen 16 órájába tellett…


 

Micsoda a π?
A π irracionális szám, vagyis olyan, valós szám, amely nem írható fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedes törtek.
Egyszersmind transzcendens számnak is nevezik, ami azt jelenti, hogy nem algebrai szám, tehát nem gyöke egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak. (A matematikában a polinom, vagyis „többtagú” megjelölést olyan összefüggésekre használják, amelyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek.)
A π szám 3,1415926535…-tel kezdődik és a végtelenségig tart, ezért is ad módot arra, hogy folyamatosan kísérletezzenek a pontos kiszámolásával. A π segítségével a kör kerületét és területét számíthatjuk ki. A π a kör kerületének és átmérőjének hányadosa (K/d). Ez azt jelenti, hogy az egységnyi átmérőjű kör kerülete pontosan π. Ugyanígy az egységnyi sugarú kör területe is pontosan π. A nevét egyébként éppen ezért a görög „περίμετρος” – perimetrosz, vagyis kerület –  szó első betűjéről kapta. Ezt a jelölést először William Jones használta, 1707-ben, de igazán népszerűvé Leonhard Euler tette, 1737-ben (ld. lejjebb is). A π –t olykor Ludolph-féle számnak is nevezik, a német matematikus, Ludolph van Ceulen tiszteletére, aki szintén jelentős eredményre jutott abban, hogy a számnak minél több tizedesjegyét meghatározza.

Arkhimédész kiindulópontja a π meghatározására a fenti ábrán látható körberajzolásos módszer volt.

Mióta ismerik a π-t?
A kíváncsi és jó megfigyelő képességű emberek már bizonyára hamar észrevették, hogy bármekkora kört is mérjenek le, annak kerülete mindig kb. a háromszorosa az átmérőjének. Ebből arra következtettek, hogy a kör mérésével kapcsolatban létezik egy adott, természeti állandó, amely a bennünket körülvevő világ egyik fontos jellemzője. Ezért föl kellett tenniük azt a kérdést, hogy vajon mennyi is pontosan ez a szám.
Az ókori Egyiptomban már a Kr. e. 2000 körüli időkből leírtak egy képletet, az ún. Rhind-papiruszon, a kör területének kiszámítására. Az egyiptomiak azonban ekkor még láthatóan nem állandóként használták a pit, mert a számításaikban nem fordul elő olyan elem, amely arra utalna, hogy felismerték a kör területének és kerületének piszerű összefüggéseit. Egy megoldóképletet alkalmaztak, amelynek megoldása egy 3,16-os számértékhez vezetett. Ez akkoriban fantasztikus eredménynek számított, hiszen nagyon közel járt a későbbi, pontosan kiszámolt értékhez. Mezopotámiában ennél kevésbé pontos számhoz jutottak.  Az igazi áttörést az ókori Görögország matematikusai érték el. Ők felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik meg, amelynek alapja a kör kerülete, magassága pedig a kör sugara. Ezzel a π nem csupán a körterülettel, hanem a körkerület kiszámításával is kapcsolatba került. Arkhimédész a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a 3,140845 ... 3,142857 közelítésig pontosította elődei eredményét. Arkhimédész után Klaudiosz Ptolemaiosz jutott a legpontosabb eredményhez.
Kínában a földmérők munkájában kapott kiemelt szerepet a π. Mint az egy Kr.e. 2. században készült összefoglaló, matematikai könyvből kiderül, kerek 3-nak számolták az értékét, és már a gömb térfogatszámításához is használták. Amikor azonban a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését, amelyet Liu Hszin csillagász hajtott végre, már a 3,1547-es értéknél tartottak, ami ugyancsak jelentős eredménynek számít. Ez egyébként egyúttal azt a kiemelt történelmi pillanatot is jelentette, hogy törvény szabta meg egy matematikai állandó értékét. A II. és III. század fordulóján Csang Heng és még számos matematikus továbbtökéletesítette a becslést, míg végül Liu Huj, aki Arkhimédész módszerével dolgozott, nála is pontosabb módszerekkel eljutott a 3,14-es számig, amelyet egy 3072 oldalú szabályos sokszög oldalainak kiszámításával kapott. Utána Cu Csung-cse (430-501) csillagász adott még ennél is pontosabb becslést. Az indiai matematikusok sem maradtak le, majd az arabok következtek, akik Arkhimédész módszerének alkalmazásával előbb 180 oldalú, majd 720 oldalú sokszöggel számoltak, de később kiderült, hogy számolási hiba került a rendszerükbe. Végül egy 1424-ben befejezett munkájában (Értekezés a körről) Dzsamsid Gijászaddín al-Kási adott helyes becslést, a 228, azaz egy 268 435 456 oldalú sokszög kerületének kiszámításával.
A középkori Európában Novgorodban foglalkoztak elsőként a számmal, éspedig csillagászati téren: Kirik diakónus 1134-ben több számítást végzett az égitestek (Föld, Nap, Hold) térfogatának kiszámítása, Eratoszthenész mérései alapján. E számításokhoz már a 3,125-nek becsült pi számot használta. Emellett Nicolaus Cusanus 1445–59 között több művében foglalkozott a körkerület kiegyenesítésével, és ehhez használta az állandót. Az ő módszere annyiban tért el Arkhimédészétől, hogy míg a görög tudós fix kerületű körbe és köré írt 3, 6, 12, 24, …, 3·2n oldalú sokszögekkel számolt, Cusanus 4, 8, 16… oldalú fix kerületű sokszögekbe és köréjük írt körökkel dolgozott. Cusanus eredményeit azután a 16. század végén François Viète, W. Snellius, Christiaan Huygens, a 17–18. században pedig többek között Isaac Newton használta fel, és egyúttal korrigálta. Európában erre az időszakra szépen egymásra épültek a legkülönfélébb helyeken élő matematikusok munkái, s így egyre többen – köztük pl. a neves Ludolph van Ceulen (1550–1617), német származású holland matematikus is – egyre pontosabb eredményre juthatott. Ő például egy 1596-ban megjelent könyvében 60·233=515 396 075 520 oldalú befoglaló és körülíró sokszöget használt a π értékének számításához, és ezzel a módszerrel húsz tizedesjegyig határozta meg a π értékét, majd 1615-ben 32-jegyű közelítést tett közzé. 1761-ben a svájci Johann Heinrich Lambert bizonyította be, hogy a pi irracionális szám. Azt pedig, hogy a görög π betűvel jelöljék, Leonhard Euler vezette be, William Jones nyomán, 1739-ben.
1873-ban William Shanks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedesjegyig számította ki a π-t, de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy Shanks az 528. tizedestől kezdve tévedett. Így természetesen a mai napig folynak a szám pontosításának munkálatai.
Mindenesetre ennyi munka után semmi csodálkozni való nincs azon, hogy amikor előkerül ez a matematikai állandó, akkor a tudósok legalább egyszer egy évben hatalmas sütievéssel próbálják pótolni annak a rengeteg energiának legalább egy kis részét, amelyet ennek a számnak a pontosítására ráfordítottak.

 

Számológép nélkül

Tudós

Dátum

Pontosság
[tizedesjegy]

Érték

Rhind-tekercs

i.e. 2000

1

4(8/9)2 = 3,1605

Arkhimédész

i.e. 250

3

3,1418

Vitruvius

i.e.20

1

3,125 = 25/8

Chang Hong

130

1

3,1623 = 101/2

Ptolemaiosz

150

3

3,14166

Wang Fan

250

1

3,155555 = 142/45

Liu Hui

263

5

3,14159

Zu Chongzhi

480

6

3,14159292 = 355/113

Aryabhata

499

4

3,1416 = 62832/20000

Brahmagupta

640

1

3,1622 = 101/2

Al-Khwarizmi

800

4

3,1416

Fibonacci

1220

3

3,141818

Madhava

1400

10

3,14159265359

Al-Kashi

1430

14

3,14159265358979

Otho

1573

6

3,1415929

Viete

1593

9

3,1415926536

Romanus

1593

15

3,141592653589793

Van Ceulen

1596

20

-

Van Ceulen

1596

35

-

Newton

1665

16

3,1415926535897932

Sharp

1699

71

-

Seki Kowa

1700

10

-

Kamata

1703

25

-

Machin

1706

100

-

De Lagny

1719

127

csak 112 helyes

Takebe

1723

41

-

Matsunaga

1739

50

-

von Vega

1794

140

csak 136 helyes

Rutherford

1824

208

csak 152 helyes

Strassnitzky, Dase

1844

200

-

Clausen

1847

248

-

Lehmann

1853

261

-

Rutherford

1853

440

-

Shanks

1847

707

csak 527 helyes

Ferguson

1946

620

-

 


 

 
Nyomtatóbarát verzió
Küldd tovább ezt a cikket barátodnak, ismerősödnek
Ajánld a Mi MICSODA Klubot barátodnak, ismerősödnek

Kapcsolat | Impresszum