|
Micsoda a π?
A π irracionális szám, vagyis olyan, valós szám, amely nem írható fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedes törtek.
Egyszersmind transzcendens számnak is nevezik, ami azt jelenti, hogy nem algebrai szám, tehát nem gyöke egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak. (A matematikában a polinom, vagyis „többtagú” megjelölést olyan összefüggésekre használják, amelyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek.)
A π szám 3,1415926535…-tel kezdődik és a végtelenségig tart, ezért is ad módot arra, hogy folyamatosan kísérletezzenek a pontos kiszámolásával. A π segítségével a kör kerületét és területét számíthatjuk ki. A π a kör kerületének és átmérőjének hányadosa (K/d). Ez azt jelenti, hogy az egységnyi átmérőjű kör kerülete pontosan π. Ugyanígy az egységnyi sugarú kör területe is pontosan π. A nevét egyébként éppen ezért a görög „περίμετρος” – perimetrosz, vagyis kerület – szó első betűjéről kapta. Ezt a jelölést először William Jones használta, 1707-ben, de igazán népszerűvé Leonhard Euler tette, 1737-ben (ld. lejjebb is). A π –t olykor Ludolph-féle számnak is nevezik, a német matematikus, Ludolph van Ceulen tiszteletére, aki szintén jelentős eredményre jutott abban, hogy a számnak minél több tizedesjegyét meghatározza.
|
Arkhimédész kiindulópontja a π meghatározására a fenti ábrán látható körberajzolásos módszer volt. |
Mióta ismerik a π-t?
A kíváncsi és jó megfigyelő képességű emberek már bizonyára hamar észrevették, hogy bármekkora kört is mérjenek le, annak kerülete mindig kb. a háromszorosa az átmérőjének. Ebből arra következtettek, hogy a kör mérésével kapcsolatban létezik egy adott, természeti állandó, amely a bennünket körülvevő világ egyik fontos jellemzője. Ezért föl kellett tenniük azt a kérdést, hogy vajon mennyi is pontosan ez a szám.
Az ókori Egyiptomban már a Kr. e. 2000 körüli időkből leírtak egy képletet, az ún. Rhind-papiruszon, a kör területének kiszámítására. Az egyiptomiak azonban ekkor még láthatóan nem állandóként használták a pit, mert a számításaikban nem fordul elő olyan elem, amely arra utalna, hogy felismerték a kör területének és kerületének piszerű összefüggéseit. Egy megoldóképletet alkalmaztak, amelynek megoldása egy 3,16-os számértékhez vezetett. Ez akkoriban fantasztikus eredménynek számított, hiszen nagyon közel járt a későbbi, pontosan kiszámolt értékhez. Mezopotámiában ennél kevésbé pontos számhoz jutottak. Az igazi áttörést az ókori Görögország matematikusai érték el. Ők felismerték, hogy a kör területe egy olyan háromszög területével egyezik meg, amelynek alapja a kör kerülete, magassága pedig a kör sugara. Ezzel a π nem csupán a körterülettel, hanem a körkerület kiszámításával is kapcsolatba került. Arkhimédész a körbe és a kör köré írt sokszögekkel a 3,140845 ... 3,142857 közelítésig pontosította elődei eredményét. Arkhimédész után Klaudiosz Ptolemaiosz jutott a legpontosabb eredményhez.
Kínában a földmérők munkájában kapott kiemelt szerepet a π. Mint az egy Kr.e. 2. században készült összefoglaló, matematikai könyvből kiderül, kerek 3-nak számolták az értékét, és már a gömb térfogatszámításához is használták. Amikor azonban a Han-dinasztia alatt elrendelték a mértékegységek egységesítését, amelyet Liu Hszin csillagász hajtott végre, már a 3,1547-es értéknél tartottak, ami ugyancsak jelentős eredménynek számít. Ez egyébként egyúttal azt a kiemelt történelmi pillanatot is jelentette, hogy törvény szabta meg egy matematikai állandó értékét. A II. és III. század fordulóján Csang Heng és még számos matematikus továbbtökéletesítette a becslést, míg végül Liu Huj, aki Arkhimédész módszerével dolgozott, nála is pontosabb módszerekkel eljutott a 3,14-es számig, amelyet egy 3072 oldalú szabályos sokszög oldalainak kiszámításával kapott. Utána Cu Csung-cse (430-501) csillagász adott még ennél is pontosabb becslést. Az indiai matematikusok sem maradtak le, majd az arabok következtek, akik Arkhimédész módszerének alkalmazásával előbb 180 oldalú, majd 720 oldalú sokszöggel számoltak, de később kiderült, hogy számolási hiba került a rendszerükbe. Végül egy 1424-ben befejezett munkájában (Értekezés a körről) Dzsamsid Gijászaddín al-Kási adott helyes becslést, a 228, azaz egy 268 435 456 oldalú sokszög kerületének kiszámításával.
A középkori Európában Novgorodban foglalkoztak elsőként a számmal, éspedig csillagászati téren: Kirik diakónus 1134-ben több számítást végzett az égitestek (Föld, Nap, Hold) térfogatának kiszámítása, Eratoszthenész mérései alapján. E számításokhoz már a 3,125-nek becsült pi számot használta. Emellett Nicolaus Cusanus 1445–59 között több művében foglalkozott a körkerület kiegyenesítésével, és ehhez használta az állandót. Az ő módszere annyiban tért el Arkhimédészétől, hogy míg a görög tudós fix kerületű körbe és köré írt 3, 6, 12, 24, …, 3·2n oldalú sokszögekkel számolt, Cusanus 4, 8, 16… oldalú fix kerületű sokszögekbe és köréjük írt körökkel dolgozott. Cusanus eredményeit azután a 16. század végén François Viète, W. Snellius, Christiaan Huygens, a 17–18. században pedig többek között Isaac Newton használta fel, és egyúttal korrigálta. Európában erre az időszakra szépen egymásra épültek a legkülönfélébb helyeken élő matematikusok munkái, s így egyre többen – köztük pl. a neves Ludolph van Ceulen (1550–1617), német származású holland matematikus is – egyre pontosabb eredményre juthatott. Ő például egy 1596-ban megjelent könyvében 60·233=515 396 075 520 oldalú befoglaló és körülíró sokszöget használt a π értékének számításához, és ezzel a módszerrel húsz tizedesjegyig határozta meg a π értékét, majd 1615-ben 32-jegyű közelítést tett közzé. 1761-ben a svájci Johann Heinrich Lambert bizonyította be, hogy a pi irracionális szám. Azt pedig, hogy a görög π betűvel jelöljék, Leonhard Euler vezette be, William Jones nyomán, 1739-ben.
1873-ban William Shanks angol matematikus 30 évi munkával 707 tizedesjegyig számította ki a π-t, de 1944-ben a szintén angol Fergusson kimutatta, hogy Shanks az 528. tizedestől kezdve tévedett. Így természetesen a mai napig folynak a szám pontosításának munkálatai.
Mindenesetre ennyi munka után semmi csodálkozni való nincs azon, hogy amikor előkerül ez a matematikai állandó, akkor a tudósok legalább egyszer egy évben hatalmas sütievéssel próbálják pótolni annak a rengeteg energiának legalább egy kis részét, amelyet ennek a számnak a pontosítására ráfordítottak.
Számológép nélkül
|
Tudós
|
Dátum
|
Pontosság
[tizedesjegy]
|
Érték
|
Rhind-tekercs
|
i.e. 2000
|
1
|
4(8/9)2 = 3,1605
|
Arkhimédész
|
i.e. 250
|
3
|
3,1418
|
Vitruvius
|
i.e.20
|
1
|
3,125 = 25/8
|
Chang Hong
|
130
|
1
|
3,1623 = 101/2
|
Ptolemaiosz
|
150
|
3
|
3,14166
|
Wang Fan
|
250
|
1
|
3,155555 = 142/45
|
Liu Hui
|
263
|
5
|
3,14159
|
Zu Chongzhi
|
480
|
6
|
3,14159292 = 355/113
|
Aryabhata
|
499
|
4
|
3,1416 = 62832/20000
|
Brahmagupta
|
640
|
1
|
3,1622 = 101/2
|
Al-Khwarizmi
|
800
|
4
|
3,1416
|
Fibonacci
|
1220
|
3
|
3,141818
|
Madhava
|
1400
|
10
|
3,14159265359
|
Al-Kashi
|
1430
|
14
|
3,14159265358979
|
Otho
|
1573
|
6
|
3,1415929
|
Viete
|
1593
|
9
|
3,1415926536
|
Romanus
|
1593
|
15
|
3,141592653589793
|
Van Ceulen
|
1596
|
20
|
-
|
Van Ceulen
|
1596
|
35
|
-
|
Newton
|
1665
|
16
|
3,1415926535897932
|
Sharp
|
1699
|
71
|
-
|
Seki Kowa
|
1700
|
10
|
-
|
Kamata
|
1703
|
25
|
-
|
Machin
|
1706
|
100
|
-
|
De Lagny
|
1719
|
127
|
csak 112 helyes
|
Takebe
|
1723
|
41
|
-
|
Matsunaga
|
1739
|
50
|
-
|
von Vega
|
1794
|
140
|
csak 136 helyes
|
Rutherford
|
1824
|
208
|
csak 152 helyes
|
Strassnitzky, Dase
|
1844
|
200
|
-
|
Clausen
|
1847
|
248
|
-
|
Lehmann
|
1853
|
261
|
-
|
Rutherford
|
1853
|
440
|
-
|
Shanks
|
1847
|
707
|
csak 527 helyes
|
Ferguson
|
1946
|
620
|
-
|
|